In this dissertation, we study the symmetry properties of quaternionic Kähler manifolds that arise from the c-map. The c-map is a differential-geometric method to construct quaternionic Kähler manifolds of negative scalar curvature out of projective special Kähler manifolds. It can not only be used to recover previously known examples of explicit quaternionic Kähler manifolds, including all known homogeneous examples with exception of the quaternionic hyperbolic spaces, but also gives rise to many new and interesting examples, including manifolds which are not locally homogeneous.
Given a projective special Kähler manifold, its image under the c-map can be constructed as follows. The first step is to canonically construct an associated pseudo-hyper-Kähler manifold, endowed with a distinguished circle action. Then, we apply the hyper-Kähler/quaternionic Kähler (HK/QK) correspondence, which assigns a quaternionic Kähler manifold to each such pseudo-hyper-Kähler manifold.
The resulting quaternionic Kähler metric depends on a choice of Hamiltonian function for the circle action, so in fact we obtain a one-parameter family of quaternionic Kähler manifolds (N̅, gc), c ≥ 0, which has been shown to be complete under natural assumptions on the initial projective special Kähler metric. The case c = 0 corresponds to a distinguished choice of Hamiltonian and g0 is known as the undeformed c-map metric while the other members of this family are called (one-loop) deformed c-map metrics. Because of the simple interpretation of the deformation parameter on the hyper-Kähler side, we can use the HK/QK correspondence to study the entire family of quaternionic Kähler metrics simultaneously.
In our study of the symmetry properties of (deformed) c-map metrics, we first ask how automorphisms of the initial projective special Kähler manifold M̅ are reflected in the quaternionic Kähler metric of its image (N̅, gc) under the deformed c-map. We show that the (identity component of the) automorphism group of M̅ injects into the isometry group of (N̅, gc) for every c ≥ 0. Consequently, if Aut M̅ acts with co-homogeneity n, then Isom(N̅, gc) acts with co-homogeneity at most n + 1 for c > 0, and n for c = 0.
Next, we study the behavior of the curvature tensor under the HK/QK correspondence and derive an elegant formula that expresses the curvature tensor of the deformed c-map metric in terms of data on the hyper-Kähler side of the correspondence. This formula can be used to place lower bounds on the co-homogeneity of c-map metrics by computing non-constant curvature invariants. We demonstrate this for a series of examples (N̅n, gcn), n ∈ ℕ, c ≥ 0, which arise from ℂHn, regarded as a homogeneous projective special Kähler manifold. The undeformed c-map metric g0n on N̅n ≅ ℝ4n+3 × S1 is (locally) symmetric, but for c > 0 we find a non-constant curvature invariant, proving that the deformed c-map metrics on these manifolds are of co-homogeneity one.
Finally, we discuss discrete subgroups of the groups of isometries of c-map metrics constructed by the above methods. We outline a method to construct quotients of c-map spaces which are diffeomorphic to K × ℝ, where K is a compact, locally homogeneous manifold obtained by dividing out an appropriate discrete group of isometries of the c-map metric. We work out the details in a simple example, using input from the theory of quaternion algebras and Fuchsian groups.
Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit den Symmetrieeigenschaften quaternionischer Kählermannigfaltigkeiten, die sich durch die c-Abbildung ergeben. Die c-Abbildung ist eine differentialgeometrische Konstruktion, die jeder projektiven speziellen Kähler-Mannigfaltigkeit eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit negativer Skalarkrümmung zuordnet. Durch die c-Abbildung ergeben sich nicht nur bisher bekannte Beispiele quaternionischer Kähler-Mannigfaltigkeiten, wie zum Beispiel alle bekannten homogenen Beispiele mit Ausnahme der quaternionischen hyperbolischen Räume, sondern auch viele interessante neue Beispiele. Dazu gehören insbesondere Mannigfaltigkeiten, die nicht lokal homogen sind.
Gegeben sei eine projektive spezielle Kähler-Mannigfaltigkeit. Ihr Bild unter der c-Abbildung wird wie folgt konstruiert: Der erste Schritt besteht darin, eine kanonisch assoziierte Pseudo-Hyper-Kähler-Mannigfaltigkeit, die mit einer kanonischen Kreiswirkung ausgestattet ist, zu konstruieren. Darauf folgt die Anwendung der Hyper-Kähler/quaternionisch Kähler (HK/QK) Korrespondenz, die jeder solcher Hyper-Kähler-Mannigfaltigkeit eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit zuordnet.
Die daraus resultierende quaternionische Kähler-Metrik hängt von der Wahl einer Hamilton-Funktion für die Kreiswirkung ab, sodass man eine Ein-Parameter-Familie quaternionischer Kähler-Mannigfaltigkeiten (N̅, gc), c ≥ 0, erhält. Unter natürlichen Annahmen an die projektive spezielle Kähler-Metrik wurde bewiesen, dass die quaternionischen Kähler-Metriken vollständig sind. Der Fall c = 0 entspricht einer ausgezeichneten Wahl der Hamilton-Funktion und g0 wird als undeformierte c-Abbildungs-Metrik bezeichnet. Die Metriken gc, c > 0, werden als (Ein-Schleifen-)deformierte c-Abbildungs-Metriken bezeichnet. Dank der einfachen Interpretation des Deformationsparameters auf der Hyper-Kähler Seite der Korrespondenz, können wir die HK/QK Korrespondenz nutzen, um die gesamte Familie (N̅, gc), c ≥ 0, gleichzeitig zu untersuchen. Wir untersuchen zuerst, wie sich Automorphismen der anfänglichen projektiven speziellen Kähler-Mannigfaltigkeit M̅ in ihrem Bild (N̅, gc) unter der (deformierten) c-Abbildung widerspiegeln. Wir beweisen für jedes c ≥ 0 die Existenz einer injektiven Abbildung von der (Identitätskomponente der) Automorphismengruppe von M̅ in die Isometriegruppe von (N̅, gc). Es sei n ∈ ℕ die Kohomogenität von M̅ unter der Wirkung von Aut M̅. Aus unseren Ergebnissen folgt jetzt, dass die Kohomogenität von (N̅, g0) höchstens n und die Kohomogenität von (N̅, gc), c > 0, höchstens n + 1 ist.
Als Nächstes analysieren wir das Verhalten des Krümmungstensors unter der HK/QK Korrespondenz. Wir erhalten eine elegante Gleichung, die beschreibt, wie der Krümmungstensor der deformierten c-Abbildungs-Metrik aus der entsprechenden Hyper-Kähler-Mannigfaltigkeit bestimmt wird. Mittels dieser Gleichung ist es möglich, nichtkonstante Krümmungsinvarianten zu berechnen, womit die Kohomogenität der c-Abbildungs-Metriken nach unten beschränkt wird. Dies zeigen wir an einer Folge von Beispielen (N̅n, gcn), n ∈ ℕ, c ≥ 0, die sich aus der homogenen projektiven speziellen Kähler-Mannigfaltigkeit ℂHn ergeben. Die undeformierte c-Abbildungs-Metrik g0n auf N̅n ≅ ℝ4n+3 × S1 ist (lokal) symmetrisch, aber für c ≥ 0 bestimmen wir eine nicht-konstante Krümmungsinvariante, was beweist, dass die deformierten c-Abbildungs-Metriken von Kohomogenität eins sind.
Abschließend beschäftigen wir uns mit diskreten Untergruppen von c-Abbildungs-Metriken. Wir skizzieren eine Methode zur Konstruktion von Quotienten von c-Abbildungs-Räumen, die diffeomorph zu K × ℝ sind, wobei K kompakt und lokal homogen ist. Wir erarbeiten die Details in einem einfachen Beispiel unter Verwendung der Theorie der Quaternion-Algebren und der Fuchsschen Gruppen.