In the present thesis we consider dynamical systems which arise from the energy-based modelling of physical systems, namely, so-called port-Hamiltonian systems. Different approaches for this abstraction process exist, resulting in slightly different port-Hamiltonian formulations. In the case of the linear finite-dimensional modelling, we identify two main branches: the geometric approach pioneered by van der Schaft and Maschke [vdSM18] and the linear algebraic approach promoted by Mehl, Mehrmann and Wojtylak [MMW18]. Inspired by these frameworks, we present another view by using the theory of linear relations. We show that this allows to elaborate the differences and mutualities of the geometric and linear algebraic views, and we introduce a class of dynamical systems which comprises these two approaches. There is a natural way to associated differential algebraic equations (DAEs) to these systems, and we study the properties of their matrix pencils. Moreover, we give sufficient conditions guaranteeing stability of the different port-Hamiltonian formulations by means of generalized Lyapunov inequality for DAEs. We also use the solution of such inequalities to rewrite stable DAEs as port-Hamiltonian systems on the subspace where the solutions evolve. Further, for stabilizable DAEs we construct solutions of generalized algebraic Bernoulli equations which can then be used to rewrite these systems as port-Hamiltonian systems by introducing a suitable output. For the illustration of this energy-based modelling approach, we consider nonlinear electrical circuits, for which a systematic approach of port-Hamiltonian modelling is established. Each circuit component is modelled as an individual port-Hamiltonian system. The overall circuit model is then derived by considering a port-Hamiltonian interconnection of the components. We further compare this modelling approach with standard formulations of nonlinear electrical circuits. The nonlinearities encompassed in this port-Hamiltonian modelling may produce implicit equations in the dynamics describing the electrical circuit. We briefly discuss the resolution of such implicit equations using a result on the existence of global implicit functions we develop. Besides implicit equations, we also study different types of algebraic constraints arising in the port-Hamiltonian formalism based on linear relations. We show how to convert these types of constraints to one another. This conversion process is then applied to link port-Hamiltonian systems to recently established pencils whose coefficients have positive semidefinite Hermitian part.
In der vorliegenden Dissertation betrachten wir dynamische Systeme, die aus der energiebasierten Modellierung physikalischer Systeme entstehen, sogenannte port-Hamiltonsche Systeme. Es existieren verschiedene Ansätze für diesen Abstraktionsprozess, was zu leicht unterschiedlichen port-Hamiltonischen Formulierungen führt. Im Fall der linearen endlichdimensionalen Modellierung identifizieren wir zwei Hauptzweige: den geometrischen Ansatz, den von van der Schaft und Maschke [vdSM18] entwickelt wurde, und der von Mehl, Mehrmann und Wojtylak [MMW18] untersuchten linear-algebraischen Ansatz. Von diesen Rahmenwerken inspiriert präsentieren wir eine weitere Sichtweise, indem wir die Theorie der linearen Relationen verwenden. Wir zeigen, dass dies erlaubt, die Unterschiede und Gemeinsamkeiten der geometrischen und der linear-algebraischen Sichtweise herauszuarbeiten, und wir führen eine Klasse dynamischer Systeme ein, die diese beiden Ansätze umfasst. Es gibt einen natürlichen Weg, diesen Systemen differential-algebraische Gleichungen (DAEs) zuzuordnen, und wir untersuchen die Eigenschaften ihrer Matrixbüschel. Darüber hinaus geben wir hinreichende Bedingungen an, die die Stabilität der verschiedenen port-Hamiltonschen Formulierungen mittels verallgemeinerter Lyapunov-Ungleichung für DAEs garantieren. Wir verwenden die Lösung solcher Ungleichungen auch, um stabile DAEs als port-Hamiltonsche Systeme auf dem Unterraum umzuschreiben, in dem sich die Lösungen entwickeln. Weiterhin konstruieren wir für stabilisierbare DAEs Lösungen von verallgemeinerten algebraischen Bernoulli-Gleichungen, die anschließend verwendet werden können, um diese Systeme als port-Hamiltonsche Systeme umzuschreiben, indem wir einen geeigneten Ausgang einführen. Zur Veranschaulichung dieses energiebasierten Modellierungsansatzes betrachten wir nichtlineare elektrische Schaltungen, für die sich ein systematischer Ansatz der port-Hamiltonschen Modellierung etabliert hat. Jede Schaltungskomponente wird als individuelles port-Hamiltonisches System modelliert. Das Gesamtschaltungsmodell wird dann unter Berücksichtigung einer port-Hamiltonischen Verbindung der Komponenten hergeleitet. Wir vergleichen diesen Modellierungsansatz weiter mit Standardformulierungen nichtlinearer elektrischer Schaltungen. Die in dieser port-Hamiltonischen Modellierung enthaltenen Nichtlinearitäten können implizite Gleichungen in der Dynamik erzeugen, welche die elektrische Schaltung beschreibt. Wir diskutieren kurz die Auflösung solcher impliziter Gleichungen unter Verwendung eines Ergebnisses über die Existenz globaler impliziter Funktionen, welches wir herleiten. Neben impliziten Gleichungen untersuchen wir auch verschiedene Arten von algebraischen Nebenbedingungen in dem auf linearen Relationen basierenden port-Hamiltonschen Formalismus. Wir zeigen, wie diese Arten von Nebenbedingungen ineinander überführt werden können. Dieser Konvertierungsprozess wird dann dazu verwendet, port-Hamiltonsche Systeme mit den kürzlich etablierten Büscheln mit Koeffizienten, die einen positiv semidefiniten Hermiteschen Anteil besitzen, zu verknüpfen