Scattering amplitudes are key observables that describe the probability of possible outcomes in the interaction of fundamental particles. These interactions are investigated in particle colliders, where two beams of high-energy particles are collided. By comparing the measured distribution of scattering events to the predicted amplitudes, the underlying theory can be tested. Beyond bridging theory and experiment, amplitudes also show remarkably deep mathematical structures. Due to many hidden properties, they are often much simpler than might be expected from their conventional calculation in terms of Feynman diagrams. By uncovering these hidden properties of scattering amplitudes, many methods have been developed that allow a more direct calculation circumventing Feynman diagrams altogether. This thesis is devoted to the study of two such structures that have recently emerged in the literature, cluster algebras and tropical Grassmannians, as well as their relation to each other. The main focus is on their application to N = 4 super Yang-Mills theory, which is the simplest interacting gauge theory in four dimensions and a common testing ground for the development of novel methods. In this theory, it has been shown that the variables of cluster algebras associated to the Grassmannians Gr(4, n) encode the singularities, or more precisely letters of the amplitude symbol, of n = 6, 7 particle scattering and consequently allow the construction of these amplitudes via a bootstrap approach. However, for n ≥ 8 particles, the cluster algebra contains infinitely many variables and thus lacks predictability. Furthermore, the rational variables of cluster algebras cannot account for singularities of so-called square-root type that have been observed in explicit calculations. The main achievement of this work is a natural proposal that solves these obstructions and provides a finite set of singularities, also including those of square-root type, for any particle number. On the one hand, we show that the relation between the tropical Grassmannian Tr(4, n) and the cluster algebra of Gr(4, n) can be used to define a selection rule that selects a finite subset of the infinite set of cluster variables for n ≥ 8. On the other hand, we show that the limits of certain infinite mutation sequences in these cluster algebras provide a way to access square-root symbol letters that have previously been found by alternative approaches. We explicitly apply our framework to the case of eight and nineparticle scattering and present a candidate alphabet for eight-particle scattering consisting of 272 rational and 18 square-root letters and for nine-particle scattering consisting of 3078 rational and 2349 square-root letters. Finally, we also apply these methods to the amplitudes of generalised biadjoint scalar theory, which are defined via a generalisation of the scattering equations, and are essentially equal to the volume of the positive part of Tr(k, n). Our result gives the amplitude associated to Tr(3, 8) in a form containing a near-minimal amount of spurious poles.
Streuamplituden sind grundlegende Observablen, welche die Wahrscheinlichkeiten möglicher Ausgänge von Interaktionen fundamentaler Teilchen beschreiben. Diese Interaktionen werden in Teilchenbeschleuniger untersucht, wo zwei hochenergetische Teilchenstrahlen miteinander kollidiert werden. Durch den Vergleich der gemessenen Distribution von Streuereignissen mit den vorhergesagten Amplituden lassen sich die zugrundeliegenden Theorien überprüfen. Streuamplituden bilden damit nicht nur eine Verbindung zwischen der theoretischen und der experimentellen Physik, sondern weisen zudem auch noch tiefgehende mathematische Strukturen auf. Aufgrund der Vielzahl an augenscheinlich versteckten Eigenschaften haben Streuamplituden häufig eine deutlich simplere Form als zunächst von der konventionellen Bestimmung über Feynmann-Diagramme erwartet werden kann. Durch das Aufdecken dieser versteckten Eigenschaften wurden in der Vergangenheit eine Vielzahl an Methoden entwickelt, die eine direkte Berechnung ohne die Verwendung von Feynmann-Diagrammen erlauben. Diese Arbeit widmet sich dem Studium zweier solcher Strukturen, die vor Kurzem in der Literatur behandelt worden sind, Cluster-Algebren und tropische Graßmann- Mannigfaltigkeiten, sowie deren Verhältnis zueinander. Der Fokus liegt dabei im Wesentlichen auf deren Anwendung auf die N = 4 supersymmetrische Yang-Mills Theorie, die einfachste interagierende Eichtheorie in vier Dimensionen. Für diese Theorie wurde gezeigt, dass die Variablen der Cluster-Algebren der Graßmann-Mannigfaltigkeiten Gr(4, n) die Singularitäten der Streuung von n = 6, 7 Teilchen beschreiben, was wiederrum die Konstruktion der Amplitude über ein Bootstrap-Verfahren ermöglicht. Für acht und mehr Teilchen enthält die Cluster-Algebra jedoch eine unendliche Anzahl an Variablen und weist somit keine Vorhersagbarkeit auf. Darüber hinaus können die per Definition rationalen Variablen der Cluster-Algebren nicht jene Singularitäten beschreiben, die Quadratwurzeln enthalten und in expliziten Berechnungen von Amplituden gefunden worden sind. Der wesentliche Beitrag dieser Arbeit ist eine Methode, die diese Schwierigkeiten löst und eine endliche Anzahl an Singularitäten inklusive der Quadratwurzel-Singularitäten für eine beliebige Anzahl an Teilchen vorhersagt. Auf der einen Seite zeigen wir, dass das Verhältnis der tropischen Graßmann-Mannigfaltigkeiten Tr(4, n) zu den Cluster-Algebren von Gr(4, n) dazu benutzt werden kann eine Auswahlregel zu formulieren, die eine endliche Teilmenge der unendlichen Variablen für n ≥ 8 auswählt. Auf der anderen Seite zeigen wir zudem, dass die Grenzwerte gewisser unendlicher Sequenzen an Mutationen in bestimmten Cluster-Algebren die beobachteten Quadratwurzel-Singularitäten beinhalten. Diese Methode wenden wir explizit auf die Streuung von acht und neun Teilchen an und bestimmen somit 272 rationale und 18 Quadratwurzel-Singularitäten für acht, sowie 3078 rationale und 2349 Quadratwurzel-Singularitäten für neun Teilchen. Schlussendlich wenden wir diese Methoden zudem auf die Amplituden der sogenannten generalisierten bi-adjungierten Skalartheorie an und erhalten dadurch eine Form der Amplitude, die eine fast minimale Anzahl an nicht-physikalischen Singularitäten enthält.