Borel-chromatischen Zahlen in Modellen der Mengenlehre
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Borel chromatic numbers in models of set theory ; Borel-chromatischen Zahlen in Modellen der Mengenlehre
In this work, we study the behavior of definable graphs on Polish spaces in various models of set theory. More specifically, we investigate their Borel chromatic numbers, one of the so-called cardinal characteristics of the continuum. We show that the statement “the Borel chromatic number of a graph is bounded by the continuum of the ground model” may be forced, depending on (1) the topology of the space of vertices; (2) the complexity of the graph (e.g., analytic, closed etc); and on (3) some suitable notion of “smallness” which may be satisfied for the graph (e.g., local countability, the inexistence of perfect cliques etc). For that, we use countable support iterations of Axiom A forcing notions. Furthermore, from the results of Chapter 3 we are also able to solve a relatively old problem about regularity properties, showing that Silver and Laver measurability may be separated on the second level of the projective hierarchy. The content of Chapter 2 is a joint work with Stefan Geschke; and the content of Chapter 3 is a joint work with Raiean Banerjee.
In dieser Arbeit untersuchen wir das Verhalten von definierbaren Graphen auf polnischen Räumen in verschiedenen Modellen der Mengenlehre. Genauer gesagt untersuchen wir ihre Borel-chromatischen Zahlen, eine der so genannten Kardinalcharakteristiken des Kontinuums. Wir zeigen, dass die Aussage ”die Borel-chromatische Zahl eines Graphen ist durch das Kontinuum des Grundmodells begrenzt“ mit der Forcing-Methode erzwungen werden kann, abhängig von (1) der Topologie des Raumes der Ecken; (2) der Komplexität des Graphen (z.B. analytisch, abgeschlossen usw.); und von (3) einem geeigneten Begriff der ”Schmalheit“, der für den Graphen erfüllt sein kann (z.B. lokale Abzählbarkeit, das Nichtvorhandensein von perfekten Cliquen usw.). Hierfür verwenden wir eine Iteration von Forcings, die Axiom A erfüllen, mit abzählbarem Träger. Darüberhinaus lösen wir in Kapitel 3 ein relativ altes Problem über Regularitätseigenschaften, indem wir zeigen, dass Silver- und Laver- Messbarkeit auf der zweiten Stufe der projektiven Hierarchie voneinander getrennt werden können. Der Inhalt von Kapitel 2 ist eine gemeinsame Arbeit mit Stefan Geschke und der Inhalt von Kapitel 3 ist eine gemeinsame Arbeit mit Raiean Banerjee.