Diese Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Im ersten Teil untersuchen wir die quasi-abelsche Kategorie der vollständigen bornologischen Räume und ihre kontraderivierten Kategorien. Wir klassifizieren alle projektiven vollständigen bornologischen Räume und beweisen, dass die Kategorie unendliche globale Dimension hat. Außerdem zeigen wir, dass nukleare Fréchet-Räume eine endliche projektive Dimension haben, sofern eine bestimmte Kardinalitätsbedingung erfüllt ist. Unter der Annahme der Kontinuumshypothese, beweisen wir die Existenz einer symmetrischen monoidalen quasi-abelschen Unterkategorie aller vollständigen bornologischen Räume, die Fréchet-Räume einschließt, für die die kontraderivierte Kategorie definiert und mit der Homotopiekategorie der Projektiven identifiziert werden kann. Dieses Ergebnis wird auf vollständige bornologische Module über einer nuklearen Fréchet-Algebra erweitert, mit Anwendungen auf glatte Funktionen und die de Rham-Algebra auf reellen glatten Mannigfaltigkeiten. Im zweiten Teil konstruieren wir Kategorien von M-vollständigen und flüssigen kondensierten Vektorräumen, und greifen dabei auf Nischenbegriffe aus der klassischen Funktionalanalysis zurück. Wir zeigen, dass Waelbroecks kompaktologische Mengen eine Kategorie bilden, die äquivalent zu quasiseparierten kondensierten Mengen ist. Aufbauend darauf erweitern wir die Idee auf Vektorräume, indem wir die Theorie der Smith-Räume und Kompaktologien nutzen, um die Kategorie der kompaktologischen Räume zu konstruieren und zu beweisen, dass diese äquivalent zu M-vollständigen kondensierten Vektorräumen ist. Zusätzlich führen wir das Konzept der p-linsierten Räume ein, definiert über nicht lokal-konvexe Smith-Räume, und zeigen, dass ihre Kategorie äquivalent ist zu der der quasiseparierten p-flüssigen Räume. Abschließend beweisen wir, dass das linke Herz der quasi-abelschen Kategorie der p-linsierten Räume mit der Kategorie der p-flüssigen Vektorräume übereinstimmt. Im dritten Teil untersuchen wir relative Versionen der Dualisierbarkeit, konzipiert für relative Versionen topologischer Feldtheorien (TFTs), auch als twisted TFTs oder quiche TFTs im Kontext von Symmetrien bezeichnet. In geraden Dimensionen zeigen wir eine Äquivalenz zwischen in einer ∞-Kategorie wertigen laxen und oplaxen voll erweiterten gerahmten relativen TFTs in Bezug auf Adjungierbarkeit. Motiviert dadurch untersuchen wir systematisch höhere Adjungierbarkeitsbedingungen und ihre Implikationen für relative TFTs. Schließlich erforschen wir zum Spaß eine Baumversion der Adjungierbarkeit und berechnen die Anzahl der Äquivalenzklassen.
This thesis is divided into three parts. In the first part, we examine the quasi-abelian category of complete bornological spaces and its contraderived categories. We classify all projective complete bornological spaces and show that the category has infinite global dimension. Furthermore, we demonstrate that nuclear Fréchet spaces have finite projective dimension, provided a specific cardinality condition holds. Assuming the continuum hypothesis, we establish the existence of a symmetric monoidal quasi-abelian subcategory of all complete bornological spaces, which includes Fréchet spaces, for which the contraderived category can be defined and identified with the homotopy category of projectives. This result is extended to complete bornological modules over a nuclear Fréchet algebra, with applications to smooth functions and the de Rham algebra on real smooth manifolds. In the second part, we construct categories of ℳ-complete and liquid condensed vector spaces, drawing on niche notions from classical functional analysis. We demonstrate that Waelbroeck's compactological sets form a category equivalent to quasi-separated condensed sets. Building on this, we extend the idea to vector spaces, utilizing the theory of Smith spaces and compactologies to construct the category of compactological spaces and demonstrate that it is equivalent to ℳ-complete condensed vector spaces. Additionally, we introduce the concept of p-lensed spaces, defined via non-locally convex Smith spaces, and show that their category is equivalent to that of quasi-separated p-liquid spaces. Finally, we prove that the left heart of the quasi-abelian category of p-lensed spaces coincides with the category of p-liquid vector spaces. In the third part, we investigate relative versions of dualizability designed for relative versions of topological field theories (TFTs), also called twisted TFTs, or quiche TFTs in the context of symmetries. In even dimensions we show an equivalence between lax and oplax fully extended framed relative topological field theories valued in an (∞,N)-category in terms of adjunctibility. Motivated by this, we systematically investigate higher adjunctibility conditions and their implications for relative TFTs. Finally, for fun we explore a tree version of adjunctibility and compute the number of equivalence classes thereof.