Die Theorie der verallgemeinerten reellen Zahlen und andere Themen aus der Logik
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The theory of the generalised real numbers and other topics in logic
In Chapter 2 we briefly introduce the two generalised versions of the real line studied in this thesis. Then, we use these spaces in the context of generalised metrisability theory and generalised descriptive set theory. In particular, we use generalised metrisability theory to define a generalised notion of Polish spaces which we will compare and combine with the game theoretical notion introduced by Coskey and Schlicht in [22]. The main results of this chapter are illustrated in a diagram which shows that a partial generalisation of the classical equivalence between Polish spaces, Gδ spaces, and strongly Choquet spaces (see [52, Theorem 8.17.ii]) can be proved in the generalised context. In Chapter 3 we study generalisations of the Bolzano-Weierstraß and Heine-Borel theorems. We consider various versions of these theorems and we fully characterise them in terms of large cardinal properties of the cardinal underlining the generalised real line. In Chapter 4 we use the generalised real line to develop two new models of transfinite computability, one generalising the so called type two Turing machines and one generalising Blum, Shub and Smale machines, i.e, a model of computation introduced by Blum, Shub and Smale in order to define notions of computation over arbitrary fields. Moreover, we use the generalised version of type two Turing machines to begin the development of a generalised version of the classical theory of Weihrauch degrees. In Chapter 4 we prove a generalised version of a classical result in the theory of Weihrauch degrees. The last two chapters of this thesis are the result of the work of the author on topics in logic which are not directly related to generalisations of the real number continuum. In Chapter 5 we study the possible order types of models of syntactic fragments of Peano arithmetic. The main result of this chapter is that the following arrow diagram between fragments of PA is complete with respect to order types of their models. By this we mean that an arrow from the theory T to the theory T ′ means that every order type occurring in a model of T also occurs in a model of T ′ and a missing arrow means that there is a model of T of an order type that cannot be an order type of a model of T ′. In Chapter 6 we study Löwenheim-Skolem theorems for logics extending first order logic. In particular, we extend the work done by Bagaria and Väänänen in [5] relating upward Löwenheim-Skolem theorems for strong logics to reflection principles in set theory. Finally, we apply the previous result to the study of the large cardinal strength of the upward Löwenheim-Skolem theorem for second order logic; we provide both upper and lower bounds.
In Kapitel 2 führen wir zwei Räume ein, welche die reellen Zahlen verallgemeinern. Diese Räume gebrauchen wir dann im Zusammenhang mit verallgemeinerter Metrisierbarkeitstheorie und verallgemeinerter deskriptiver Mengenlehre. Insbesondere benutzen wir verallgemeinerte Metrisierbarkeitstheorie um eine verallgemeinerte Version von polnischen Räumen zu definieren, welche wir mit den spieltheoretischen Ideen von Coskey und Schlicht in [22] vergleichen. Die Hauptergebnisse dieses Kapitels sind in einem Diagramm illustriert, das zeigt, dass wir eine Verallgemeinerung der klassischen Äquivalenz zwischen polnischen Räumen, Gδ-Räumen und starken Choquet-Räumen (siehe [52, Theorem 8.17.ii]) beweisen können.
In Kapitel 3 studieren wir Verallgemeinerung der Sätze von Bolzano-Weierstraß und Heine-Borel. Wir betrachten verschiedene Varianten dieser Sätze und charakterisieren diese vollständig bezüglich der großen Kardinalzahleigenschaften der verallgemeinerten reellen Zahlen.
In Kapitel 4 benutzen wir die verallgemeinerten reellen Zahlen um zwei neue Modelle der transfiniten Berechenbarkeit zu entwickeln. Wir verallgemeinern sowohl die sogenannten Typ-Zwei Turingmaschinen als auch Blum, Shub und Smale Maschinen. Letztere Maschinen sind ein von Blum, Shub und Smale eingeführtes Modell der Berechenbarkeit, das es erlaubt, Berechenbarkeit über beliebigen Körpern zu definieren. Darüber hinaus gebrauchen wir die verallgemeinerte Version der Typ-Zwei Turingmaschinen um die Entwicklung verallgemeinerter Weihrauchränge zu beginnen. In diesem Kapitel beweisen wir die folgende Verallgemeinerung eines klassischen Resultats in der Theorie der Weihrauchränge.
Die letzten beiden Kapitel dieser Arbeit sind das Resultat von Arbeiten des Autors, die sich nicht direkt mit Verallgemeinerungen der reellen Zahlen beschäftigen.
In Kapitel 5 studieren wir die mögliche Struktur der Ordnungstypen von Modellen syntaktischer Fragmente der Peanoarithmetik. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist die Vollständigkeit des folgenden Pfeildiagramms zwischen Fragmenten von PA bezüglich der Ordnungstypen der Modelle der Fragmente. Das bedeutet, dass ein Pfeil von der Theorie T zur Theorie T ′ angibt, dass jeder Ordnungstyp eines Modells von T auch Ordnungstyp eines Modells von T ′ ist. Ein ausgelassener Pfeil bedeutet, dass es ein Modell T eines Ordnungstyps gibt, das nicht der Ordnungstyp eines Modells von T ′ sein kann.
In Kapitel 6 studieren wir Löwenheim-Skolem Sätze für Logiken, welche die Logik der ersten Stufe erweitern. Insbesondere setzen wir die Arbeit von Bagaria und Väänänen in [5] fort, in der aufwärts Löwenheim-Skolem Sätze für starke Logiken mit Reflexionsprinzipien in der Mengenlehre verknüpft werden.
Schließlich wenden wir das obige Resultat zum Studium der Kardinalzahlstärke des aufwärts Löwenheim-Skolem Satzes für die Prädikatenlogik der zweiten Stufe an; wir bestimmen sowohl eine untere als auch eine obere Schranke