In dieser Doktorarbeit untersuchen wir die Interaktion zwischen Pivotalstrukturen auf Tensorkategorien und Morita-Theorie, und zeigen wir grundlegende Ergebnisse der Theorie aus einer bikategorialen Perspektive. Die Dissertation beginnt mit einem einleitenden Abschnitt, in dem die Motivation für das zu untersuchende Problem, seine Verbindungen zu topologischen Feldtheorien und die in dieser Arbeit bewiesenen Ergebnisse vorgestellt werden. Die Struktur des Dokuments ist wie folgt: • In Kapitel 1 werden die notwendigen Definitionen und Konventionen über die Theorie der Tensorkategorien zusammengefasst. Weitere vorbereitende Konzepte und Ergebnisse zu relativen Serre-Funktoren und Nakayama-Funktoren sind ebenfalls enthalten. • In Kapitel 2 diskutieren wir kategoriale Morita-Kontexte. Wir beschreiben, wie ein Morita-Kontext eine Zwei-Objekt-Bikategorie definiert. Außerdem zeigen wir, dass jede exakte Modulkategorie einen starken Morita-Kontext erzeugt, und dass jeder solche starke Morita-Kontext aus einer exakten Modulkategorie kommt. • In Kapitel 3 untersuchen wir duale Objekte in Morita-Kontexten. Wir zeigen, dass die Morita-Kontext-Bikategorie Duale (adjungierte 1-Morphismen) hat. Außerdem, beschreiben wir die Doppelduale als relative Serre-Funktoren, was zu Radford-Theoremen für Modulkategorien und für Morita-Kontext-Bikategorien führt. • In Kapitel 4 definieren wir pivotale Morita-Äquivalenz. Das erste Hauptergebnis dieses Kapitels zeigt: die pivotale Bikategorie der pivotalen Modulkategorien charakterisiert pivotale Morita-Äquivalenz. Zweitens zeigen wir, dass pivotale Tensorkategorien, die pivotal Morita-äquivalent sind, (pivotal verzopfte) äquivalente Drinfeld-Zentren haben. Dieses Ergebnis hat direkte Anwendungen auf orientierte topologische Feldtheorien. Wir diskutieren außerdem sphärische Modulkategorien. • In Kapitel 5 diskutieren wir die äquivariante Morita-Theorie für graduierte Tensorkategorien über einer endlichen Gruppe G. • In Kapitel 6 untersuchen wir die Eigenschaften von Spuren, die von Pivotalstrukturen auf Bimodulkategorien stammen, mit besonderem Interesse am sphärischen und halbeinfachen Fall. • In Kapitel 7 formulieren wir eine Turaev-Viro-Konstruktion aus der pivotale Bikategorie der sphärischen Modulkategorien über einer sphärischen Fusionskategorie, die in der Dissertation entwickelt wurde. Das Hauptergebnis des Kapitels zeigt: die konstruierte topologische Invariante von orientierten 3D-Mannigfaltigkeiten ist skeletonunabhängig.
In this thesis we study the interaction of pivotal structures on tensor categories with categorical Morita theory and establish foundational results in the theory from a bicategorical perspective. The dissertation starts with an introductory section presenting the motivation behind the problem of study, its connections with topological field theories and the results achieved in this work. The structure of the document is as follows: • In Chapter 1 the pertinent definitions and conventions about the theory of finite tensor categories are summarized. Further preliminary material regarding relative Serre functors and Nakayama functors is also included. • In Chapter 2 we discuss the notion of a categorical Morita context. We describe the two-object bicategory associated to every Morita context. Furthermore, we show that every exact module category induces a strong Morita context, and conversely that any such strong Morita context stems from an exact module category. • In Chapter 3 we investigate the nature of dualities for Morita contexts, by showing that its associated bicategory admits duals (adjoints). Moreover, we describe double-duals in terms of relative Serre functors, which leads to Radford theorems for module categories and for Morita context bicategories. • In Chapter 4 we introduce the notion of pivotal Morita equivalence. The first main result of this chapter is a characterization of this notion of equivalence in terms of the pivotal bicategories of pivotal modules. Secondly, we show that pivotal tensor categories that are pivotal Morita equivalent have (pivotal braided) equivalent Drinfeld centers, leading to immediate applications to oriented topological field theories. We further discuss a notion of sphericality for module categories. • In Chapter 5 we make a detour to discuss categorical Morita theory in the equivariant setting of tensor categories graded over a finite group G. • In Chapter 6 we study the properties of traces arising from pivotal structures on bimodule categories with a particular emphasis on the spherical semisimple case. • In Chapter 7 we reformulate the Turaev-Viro state sum construction in terms of structures developed in the thesis, namely the bicategory of spherical modules over a spherical fusion category. The main result of the chapter shows that the constructed topological invariant of oriented 3d-manifolds is independent of the choice of skeleton used to define it.