In this thesis we study mapping class group actions of the three-dimensional Reshetikhin-Turaev topological quantum field theory motivated by questions in three-dimensional quantum gravity where mapping class group averages appear as candidates for gravity partition functions. One of the main results is a bulk-boundary correspondence between mapping class group averages and a rational conformal field theory whose chiral mapping class group representations are irreducible and obey a finiteness property. As primary examples we find that Ising-type modular fusion categories and their Reshetikhin-Turaev topological quantum field theories are characterised by these properties. Finally, for a given modular fusion category C we show that if the mapping class group representation on every surface without marked points is irreducible then there is a unique indecomposable C-module category with module trace, namely C itself. Such module categories describe surface defects in three-dimensional Reshetikhin-Turaev topological quantum field theories. This links irreducibility of mapping class group representations and absence of non-trivial surface defects.
In dieser Doktorarbeit untersuchen wir Wirkungen der Abbildungsklassengruppe der drei-dimensionalen Reshetikhin-Turaev topologischen Quantenfeldtheorie, motiviert durch Fragen in der drei-dimensionalen Quantengravitation, wo Durchschnitte der Abbildungsklassengruppe als Kandidaten für Gravitationszustandsummen gelten. Ein Hauptergebniss ist eine holographische Korrespondenz zwischen Durchschnitten der Abbildungsklassengruppe und einer konformen Feldtheorie, deren chirale Darstellungen der Abbildungsklassengruppe irreduzibel sind und eine Endlichkeiteigenschaft besitzen. Als wesentliches Beispiel finden wir heraus, dass modulare Fusionskategorien von Ising-Typ und ihre Reshetikhin-Turaev topologische Quantenfeldtheorien diese Eigenschaften erfüllen. Abschließend zeigen wir für eine modulare Fusionskategorie C dass, wenn die Darstellungen der Abbildungsklassengruppe jeder Fläche ohne markierte Punkte irreduzibel ist, es eine eindeutige unzerlegbare C-Modulkategorie mit Modulspur, nämlich C, gibt. Solche Modulkategorien beschreiben Oberflächendefekte in drei-dimensionalen Reshetikhin-Turaev topologische Quantenfeldtheorien. Dies verlinkt die Irreduzibilität der Abbildungsklassengruppendarstellungen und die Abwesenheit von nicht-trivialen Oberflächendefekten.