The first part of the thesis focuses on the introduction to its two main topics: path integrals and vertex algebras. Starting with the toy examples of the classical free particle and the classical free scalar field, we show how to quantise them following two formulations: the Lagrangian which makes use of path integrals and the Hamiltonian which in the mechanical example yields the Schroedinger equation of a free particle, whereas in the field theory example yields the Heisenberg algebra. In order to describe the latter we introduce vertex algebras. In a ongoing work with a theoretical chemistry group at the Freie Universitaet Berlin, we apply the path integral formulation to the study of stochastic dynamics in a classical system with many degrees of freedom. We consider the Fokker-Planck equation, a partial differential equation which stochastically describes the dynamics of a molecular system and discuss its equivalence to the Schroedinger equation. This in turn is equivalent to the path integral formalism which can therefore be applied to find solutions of the original system. The outlook is to further develop this study in specific examples. In the second and main part of the thesis we proceed with a construction and classification study. For every finite-dimensional Nichols algebra with diagonal braiding qij , we find all lattices Λ with Gram matrix mij = (vi, vj ) which realise the braiding, i.e. such that qij = eπimij and the Weyl reflections on qij lift to reflections on mij in a suitable sense. For every Nichols algebra braiding qij and realising lattice Λ we then consider the Heisenberg vertex algebra and the corresponding non-local screening operators associated to Λ. Under certain smallness condition, these screening operators satisfy the relations of the Nichols algebra. We then study for every finite-dimensional diagonal Nichols algebra the algebra of screening operators by analysing the smallness condition which does not always hold. When it fails the algebra of screenings is an extension of the Nichols algebra depending on the free parameters in the realisation.
Der erste Teil meiner Doktorarbeit befasst sich mit der Einführung in ihre Hauptthemen, Pfadintegrale und Vertexalgebren. Beginnend mit den Toy-Beispielen vom klassischen mechanischen Teilchen und dem klassischen freien skalaren Feld, zeigen wir, wie man die klassischen Beispiele quantisieren kann. Wir betrachten dazu zwei verschiedene Formulierungen, die Lagrangesche Formulierung, die Pfadintegrale benutzt, und die Hamiltonsche Formulierung, die in dem mechanischen Beispiel zur Schrödingergleichung von einem freien Teilchen und in dem Beispiel der Feldtheorie zur Heisenbergalgebra führt. Um die Heisenbergalgebra zu beschreiben, führen wir Vertexalgebren ein. In einer laufenden Zusammenarbeit mit der Arbeitsgruppe für theoretische Chemie der Freien Universität Berlin, wenden wir die Pfadintegralformulierung auf das Studium der stochastischen Dynamik in einem klassischen System mit vielen Freiheitsgraden an. Wir betrachten die Fokker-PlanckGleichung, eine Partielle Differentialgleichung, die die Dynamiken eines Molekularsystems stochastisch beschreibt, und wir zeigen, dass sie zur Schrödingergleichung äquivalent ist. Die Schrödingergleichung ist wiederum zur Pfadintegralformulierung äquivalent, die deswegen verwendet werden kann, um Lösungen des ursprünglichen Systems zu finden. Wir entwickeln dieses Studium in Beispielen weiter. Im zweiten und Hauptteil der Arbeit fahren wir mit einem Studium von Konstruktion und Klassifikation fort. Für jede endlichdimensionale Nicholsalgebra mit diagonaler Verzopfung qij , finden wir alle Gitter Λ mit Gramschen Matrizen mij = (vi , vj ), die die Verzopfung so realisieren, dass die qij = eπimij und die Weylreflexionen von qij sich zu den Reflexionen von mij geeignet hochheben. Für jede Verzopfung qij einer Nicholsalgebra und realisierende Gitter Λ betrachten wir dann die Heisenbergsche Vertexalgebra und die zu dem Gitter zugehörigen nicht lokalen Screeningoperatoren. Unter den sogenannten smallness Bedingung, erfüllen diese Screeningoperatoren die Beziehungen der Nicholsalgebra. Für jede endlichdimensionale diagonale Nicholsalgebra, studieren wir dann die Algebra der Screeningoperatoren indem wir die smallness Bedingung analysieren, die nicht immer erfüllt ist. Wenn sie nicht erfüllt ist, ist die Algebra der Screeningoperatoren eine Erweiterung der Nicholsalgebra, die von den freien Parametern in der Realisierung abhängt.