Throughout recent decades, positive definite kernel functions have turned out to be powerful and flexible approximation tools for several mathematical problems and their associated real-world applications. Besides the interpolation of Lagrangian data, kernel functions are well-suited to solve more general interpolation problems concerning the evaluation of arbitrary functionals, also known as generalized interpolation. Although the treatment of the generalized case is straightforward in many aspects, it has not gained the same attention as the standard interpolation case yet. So far, the research on this topic has mainly focused on the solution of partial differential equations, and further applications such as medical imaging are rather exotic.
In 2018, the authors De Marchi, Iske and Santin proposed the application of generalized interpolation to the field of computerized tomography in combination with weighted kernel functions. Inspired by this work, the objective of this thesis is to further elaborate the concept of generalized interpolation and investigate its utility for the reconstruction of images from scattered Radon data. To this end, we derive an extensive framework for treating generalized interpolation problems in the first part of this thesis, which includes data-dependent orthonormal systems, greedy data selection algorithms and suitable regularization methods. We provide convergence results under mild assumptions on the considered kernel and translate several results from standard Lagrangian interpolation to the generalized case.
The derived framework is then applied to the problem of computerized tomography in the second part, where we derive useful properties of weighted kernel functions. By choosing suitable kernels, we can guarantee the well-posedness of the reconstruction method and therefore make use of our general theoretical results from the first part. Moreover, we provide theoretical and numerical comparisons to other well-established reconstruction methods to demonstrate the advantages of kernel-based generalized interpolation in the field of computerized tomography.
Im Laufe der letzten Jahrzehnte haben sich positiv-definite Kernfunktionen als überaus nützlich herausgestellt für verschiedenste mathematische Probleme und die zugehörigen praktischen Anwendungen. Neben der Interpolation von gewöhnlichen Lagrange-Daten sind Kernfunktionen ebenfalls prädestiniert für die Interpolation bezüglich der Auswertung von beliebigen Funktionalen, auch bekannt als verallgemeinerte Interpolation. Auch wenn sich die Analyse des verallgemeinerten Problems in vielen Punkten nicht vom Standardfall unterscheidet, hat dieses Forschungsthema bisher noch keine große Aufmerksamkeit erlangt. Während sich der Großteil der zugehörigen Forschung mit der Lösung von partiellen Differentialgleichungen beschäftigt, existieren nur wenige Arbeiten über andere Anwendungsfelder wie die medizinische Bildgebung.
Eines dieser seltenen Anwendungsbeispiele ist Computertomographie, genauer gesagt die Rekonstruktion von Bildern mittels gewichteter Kernfunktionen, welches aus einer Publikation von den Autoren De Marchi, Iske und Santin von 2018 hervorging. Ausgehend von diesem Forschungsartikel ist es das Ziel dieser Doktorarbeit, das Konzept der Kern-basierten verallgemeinerten Interpolation weiter zu analysieren und die Nützlichkeit bezüglich der Rekonstruktion anhand verstreuter Radon-Daten weiter zu untersuchen. Dazu leiten wir im ersten Teil dieser Arbeit ein umfangreiches Grundgerüst für die Lösung von verallgemeinerten Interpolationsproblemen mittels positiv-definiter Kernfunktionen her, bestehend aus Daten-abhängigen Orthonormalsystemen, Greedy-Algorithmen zur Auswahl von Interpolationspunkten und geeigneten Regularisierungsmethoden. Wir beweisen die Konvergenz der Interpolationsmethode unter milden Voraussetzungen an die Kernfunktion und verallgemeinern diverse Resultate aus der Standardtheorie.
Im zweiten Teil dieser Arbeit wenden wir dieses Grundgerüst auf das zugrundeliegende mathematische Problem der Computertomographie an. Wir beweisen essenzielle Eigenschaften von gewichteten Kern-funktionen, welche die Wohldefiniertheit der Rekonstruktionsmethode sicherstellen. Insbesondere wird sichergestellt, dass wir die Resultate aus dem ersten Teil dieser Arbeit anwenden können. Darüber hinaus stellen wir einen theoretischen und numerischen Vergleich mit anderen etablierten Rekonstruktionsmethoden an, um die Vorteile der Kern-basierten verallgemeinerten Interpolation zu demonstrieren.