The present thesis consists of two parts. The overarching theme is the notion of a Riemannian cone. The first part is concerned with linear stability of a certain type of Ricci solitons. Ricci solitons are generalizations of Einstein metrics. We show that if (B, gB , Z) is a Riemannian cone and (F, gF ) is an Einstein manifold with Einstein constant μ, then the product manifold (M, g) := (B × F, gB ⊕ gF ) is a gradient Ricci soliton with Ricci potential w := μ/2 |Z|^2. There is a connection between linear stability of M and that of F . We show that if (F, gF ) is linearly unstable, then the product Ricci soliton is linearly unstable, too. In the second part, which is the main matter of this thesis, we turn our attention to Ricci-flat asymptotically conical manifolds. The main goal of this part is to show that Ricci-flatness is a strong enough assumption prove decay rates for various tensor fields, and in particular that Ricci-flatness may be used to find suitable asymptotic coordinates in which the decay rate is optimized. After a short study of the geometry of Riemannian cone metrics gcone, we show that many geometrically interesting Laplace-type operators admit a structure that allows for a decomposition similar to the standard formula expressing the Laplacian in spherical co-ordinates. The role of the spherical Laplacian is played by the so-called tangential operator. After an explicit calculation, we determine the spectrum and eigenfields of the tangential operators of the Laplace–Beltrami operator ∆^gcone_B , the Hodge Laplacian ∆^gcone_H on 1-forms and the Einstein operator ∆^gcone_E on symmetric 2-tensor fields. After this, we turn our attention to decaying harmonic symmetric 2-tensor fields, and show that an explicit formula may be derived for the decay rate, involving only the spectra of the tangential operators we have just dealt with. Next, we consider asymptotically conical manifolds. These are Riemannian manifolds (M, g) for which we can find a diffeomorphism φ, called the asymptotic chart, which maps M \ K to an infinite frustum of a Riemannian cone with metric gcone and such that the covariant derivatives difference of the cone metric and the pushforward metric φ∗g decays with a prescribed rate τ in terms of the radial coordinate (the radial coordinate describes the position along the “axis” of the cone). The two main components of this definition are the asymptotic chart φ and the decay rate τ . The rest of the thesis is dedicated to showing that we can find a suitable asymptotic chart in which the decay rate is optimized (and is the same as in the kernel of the Einstein operator on a cone). For this, we first consider decaying ∆^gac_E -harmonic 2-tensor fields and determine that they admit the same decay rate as their ∆^gcone_E -harmonic analogues. The proof is similar to the conical case but, crucially, an iterative procedure needs to be introduced. Next, as usual for partial differential equations with geometric origins, we introduce a gauging borrowing ideas from the study of the Ricci-flow. This gauging −2 Ric^g +L_V(g,gac)g = 0 leads to a quasilinear partial differential equation. The iterative procedure from before may be used to determine the decay rate of the difference tensor between gauged metrics and the reference metric. Not all metrics are gauged but it can be shown using an argument which is based on the implicit function theorem, that in a small enough neighbourhood U of the asymptotically conical metric g, metrics can be pulled back to a metric for which the term with the Lie derivative disappears. Consequently, for these metrics the gaugedness condition is equivalent to the condition of Ricci flatness. We can construct a family of metrics (gR)R interpolating between the asymptotically conical metric g and the pullback of the cone metric such that gR coincides with the pullback metric of gcone outside an ever increasing compact set. This family converges to gac, so in particular, for large enough R, the family lies in the neighbourhood U, therefore it may be uniquely pulled back to a metric with vanishing Lie derivative term via a map ψ. Using this ψ and the original asymptotical coordinates φ we can construct a new asymptotic chart in which g has the optimalized decay rate.
Diese Dissertation besteht aus zwei Teilen, die mit durch das Konzept des Riemannschen Kegels verbunden sind. Im ersten Teil geht es um die lineare Stabilität einiger Ricci-Solitonen, eine Klasse von Riemannmetriken, die Klasse von Einsteinmetriken verallgemeinert. Insbesondere wird gezeigt, dass wenn (M, gM , Z) ein riemannscher Kegel ist und (F, gF ) eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Einsteinkonstante μ, dann ist die Produktmannigfaltigkeit (M, g) := (B×F, gB⊕gF ) ein Riccisoliton des Gradiententyps mit Riccipotential w := μ/2 |Z|^2. Es gibt einen gewissen Zusammenhang zwischen der linearen Stabilität von M und F . Wir zeigen, dass wenn (F, gF ) linear instabil ist, so ist das Produkt-Riccisoliton auch linear instabil. Im zweiten Teil, dem Hauptteil der Dissertation, betrachten wir Ricciflache asymptotisch konische Mannigfaltigkeiten. Der Zweck dieses Teils ist es zu zeigen, dass die Annahme der Ricciflachheit stark genug ist um die Abfallraten bestimmter Tensorfelder zu berechnen und inbesondere dass diese Annahme stark genug sei für die Konstruktion passender asymptotischer Koordinaten, bezüglich der die Abfallrate verbessert ist. Nach einem Kapitel über die Geometrie der riemannschen Kegelmetriken gcone zeigen wir, dass die Struktur vieler geometrisch interessanter laplaceartiger Operatoren eine Darstellung zulässt, die die Standardformel für “den Laplaceoperator in Polarkoordinaten” ähneln. Die Rolle des sphärischen Laplaceoperators wird in diesem allgemeineren Fall durch den sogenannten Tangentialoperator übernommen. Wir führen explizite Rechnungen vor, die das Spektrum und die Eigentensorfelder des Laplace–Beltrami-Operators ∆^gcone_B , des Hodge–Laplace-Operators ∆^gcone_H auf 1-Formen und des Einsteinoperators ∆^gcone_E auf symmetrischen 2-Tensorfelder bestimmen. Nach dieser Rechnung werden wir uns an das Abfallverhalten ∆^gcone_E-harmonische symmetrische 2-Tensorfelder. Wir zeigen, dass sich eine explizite Formel für die Abfallrate herleiten lässt, die nur vom Spektrum der früher betrachteten Tangentialoperatoren abhängt. Nach dieser Vorarbeit geht es weiter mit asymptotisch konischen Mannigfaltigkeiten. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt asymptotisch konisch, wenn es einen Diffeomorphismus φ (die asymptotische Karte) gibt, die die Mannigfaltigkeit außerhalb eines Kompaktums nach einem Kegel gcone ohne seine Spitze abbildet und wenn die Differenz der Pushforwardmetrik φ∗g und der Kegelmetrik gcone mit einer Abfallrate τ bezüglich der Radialkoordinate abfällt (und die Ableitungen fallen entsprechend ab). Hier steht die Radialkoordinate für die Position auf der “Kegelachse”. Die für uns wichtigste Komponente im vorherigen Satz sind die asymptotische Karte φ und die Abfallrate τ . Das Ziel im Rest dieser Dissertation ist zu zeigen, dass sich die Abfallrate durch die Wahl einer passenden Karte verbessern lässt (und dass diese Abfallrate mit der Abfallrate für ∆^gcone_E übereinstimmt). Als erster Schritt betrachten wir ∆^g_E -harmonische 2-Tensorfelder und zeigen, dass sie die gleiche Abfallrate haben, wie im ∆^gcone_E-harmonischen Fall. Der Beweis geht analog, aber ein iteratives Verfahren muss eingeführt werden. Wie üblich im Kontext von partielle Differentialgleichungen geometrischen Ursprungs, führen wir eine Eichung ein. Hierfür entlehnen wir ein Konzept aus der Studie des Ricciflusses. Die Eichung −2 Ricg +LV (g,gac)g = 0 führt zu einer quasilinearen partiellen Differentialgleichung. Das frühere iterative Verfahren kann hier wieder eingesetzt werden um die Abfallrate der Differenz zwischen einer geeichten Metrik und der Referenzmetrik zu bestimmen. Es kann mit einem Implizitfuntionssatzargument gezeigt werden, dass jede Metrik in einer genügend kleiner Umgebung der Referenzmetrik gac durch einen Diffeomorphismus zurückgezogen werden kann, sodass der Term mit der Lieableitung verschwindet. Für diese zurückgezogene Metrik ist also die Eichung gleich der Bedingung der Ricciflachheit. Es lässt sich eine Familie von Metriken (gR)R konstruieren, die zwischen der exakten Kegelmetrik und der asymptotisch konischen Metrik gac interpoliert, sodass gR mit gac innerhalb eines mit R größer werdenden Kompaktums übereinstimmt und sodass gR mit dem exakten Kegelmetrik außerhalb eines mit R immer größer werdenden Komapktums übereinstimmt. Ferner konvergiert diese Familie nach gac, also für genügend großes R liegen die Metriken gR in der Umgebung U. Nehmen wir ein solches R1. Dann kann die Metrik gR1 durch einen Diffeomorphismus ψ zurückgezogen werden, sodass der Lieableitungsterm verschwindet. Man kann mithilfe von ψ und der ursprünglichen asymptotischen Karte φ eine neue asymptotische Karte konstruieren bezüglich dessen die verbesserte Abfallrate erreicht werden kann.