Stabilität mikro- und makroskopischer Verkehrsmodelle beim Übergang von der Ringstraße zur Geraden
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Stability of Micro- and Macroscopic Traffic Flow Models on the Transition from Circular Road to Infinite Lane
Mathematical models of traffic flow have been successfully used to describe, understand and predict congestion, behaviour at bottlenecks, and other phenomena. Models for single-lane vehicular traffic are often formulated either “microscopically” as systems of ordinary differential equations, trying to capture the dynamics at the level of a single vehicle, or “macroscopically” as (systems of) partial differential equations, describing e.g. car density and flow velocity. For microscopic models of a finite number of cars on a ring road, detailed stability and bifurcation analysis can be done. In this way it can be explained why and how a slight variation of circumstances like mean density, reaction time, or driving behaviour can lead to an abrupt change from smoothly flowing traffic to congestion. It may be suspected that the fact that the information about a driver’s decisions influences his actions at a later point of time by travelling from vehicle to vehicle upstream around the circle might lead to unrealistic effects. If, however, an open road of infinite length is considered instead, the situation becomes more involving mathematically.
The aim of this dissertation is to study how stability properties of traffic flow models change on the transition from circular road to infinite lane and from microscopic to macroscopic description. Prior applications of the concepts of convective and absolute instability to microscopic models are reviewed. These results are compared to those obtained for related macroscopic models. The notions of transient and remnant instability, well-known from partial differential equations, are introduced for microscopic models by considering their behaviour under certain exponentially weighted norms.
Analysis of car-following models on the circular road has shown that periodic solutions corresponding to stop-and-go-waves may emerge from Hopf bifurcations and can be numerically continued through parameter space, sometimes even into regions for which the quasi-stationary solutions are locally stable. We examine how these solutions behave and how they move with respect to different reference frames when the ring is opened and the number of cars is infinite.
Zusammenfassung der Resultate – Für verschiedene Definitionen der Dichte wurden aus einem mikroskopischen Verkehrsmodell unter besonderer Beachtung ggf. notwendiger Korrekturen der Massenerhaltungsgleichung entsprechende makroskopische Modelle abgeleitet (Sec. 3.3) – Eine große Klasse linearer mikroskopischer Verkehrsmodelle konnte mit Hilfe der Theorie zu Töplitzmatrizen und -operatoren beschrieben und untersucht werden (Sec. 4.1.1) – Die charakteristischen Polynome der Linearisierungen der makroskopischen Modelle konvergieren in geeignetem Sinne zur charakteristischen Funktion des zugrunde liegenden mikroskopischen Modells. (Sec. 4.2.2) – Die in Mitarai and Nakanishi (2000a) und Ward and Wilson (2011) aufgestellten notwendigen Kriterien zur Unterscheidung zwischen konvektiver und absolute Instabilität in mikroskopischen Verkehrsflussmodellen stellten sich als equivalent heraus (Sec. 5.2.2) – Die Begriffe der “vorübergehenden” und “verbleibenden” Instabilität (remnant/transient instability) wurden auf mikroskopische Verkehrsflussmodelle angewandt (5.3); es konnte demonstriert werden, dass diese Unterscheidung unter gewissen Bedingungen der zwischen konvektiver und absoluter Instabilität vorzuziehen ist (Ex. 5.4) – Die Grenzen zwischen konvektiver und absoluter Instabilität für makroskopische Verkehrsflussmodelle im Parameterraum wurden berechnet und mit den entsprechenden Ergebnissen für das zugrunde liegende mikroskopische Modell verglichen (Sec. 5.4.2.2) – Eine gewisse Art von Stop-and-Go-Wellen konnte als Lösungen einer zugehörigen retardierten Differentialgeichung beschrieben werden. Das dabei auftretende Problems des singulären Eigenwertes der Linearisierung konnte durch Formulierung als integro-retardierte Differentialgleichung umgangen werden (Sec. 6.1) – Periodischer Lösungen auf der Geraden für das Bando-Modell wurden mit dem Ansatz der integro-retardierte Differentialgleichung nummerisch bestimmt (Ex. 6.4) – Methoden zur Bestimmung der (In-) Stabilität (Sec. 7.1.2) und konvektiven bzw. absoluten Instabilität der gefundenen periodischen Lösungen auf der Geraden wurden diskutiert (Sec. 7.2)